2023省考數量關系備考技巧：教你快速搞定不定方程

　　不定方程是指未知數的個數多于獨立方程個數的一類方程。一般形式為：ax+by=c，其中，ab≠0,且a，b，c均為正整數。一般題目中會規定關于x、y的取值條件，從而確定其取值。

　　不定方程在數量關系的考查中一直是很重要的題型之一，國考及聯考常有涉及，尤其在國考中考查的頻率較高。不定方程的考查方式比較固定，規律性強，在數量關系中反而是容易掌握的一種題型。那我們今天來一起了解不定方程的幾種常見的解題方法：

　　1.代入排除

　　在行測考試中，數量關系均為客觀題，每道題目都有對應的四個選項，在沒有其它思路的情況下，最快解不定方程的方法就是根據題意列好方程后，結合選項依次進行代入驗證，找到唯一符合題干條件的選項，即為正確答案。具體運用如下題：

　　【例】辦公室工作人員使用紅、藍兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個紅色文件袋可以裝7份文件，每個藍色文件袋可以裝4份文件。要使每個文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍色文件袋的數量分別為多少個：

　　A.1、6

　　B.2、4

　　C.3、2

　　D.4、1

　　【分析】第一步，本題考查不定方程問題，用代入排除法解題。

　　第二步，設紅、藍文件袋數量分別為x、y，由恰好裝滿，可得7x+4y=29�？梢来未�入選項：

　　A選項，7×1+4×6≠29，排除;

　　B選項，7×2+4×4≠29，排除;

　　C選項，7×3+4×2=29，符合題意。

　　因此，選擇C選項。

　　2.奇偶性

　　奇偶性是解不定方程很常見的方法。即結合式子中已知量的奇偶性來推導式子中未知數的奇偶性。但是在用好奇偶性解題之前要熟悉奇偶的性質：

　　(1)偶數±偶數=偶數;奇數±奇數=偶數;偶數±奇數=奇數

　　性質1：任意兩個數性質相同(同奇或同偶)，則這兩個數兩個數的和(差)一定為偶數;任意兩個數性質相反(一奇一偶)，則這兩個數兩個數的和(差)一定為奇數。逆推則

　　為奇反偶同。

　　偶數×偶數=偶數;奇數×奇數=奇數;偶數×奇數=偶數

　　性質2：任意兩個數相乘，若可以確定其中一個數為偶數，那么這兩個數的乘積一定為偶數。反之，任意兩個奇數相乘，乘積一定為奇數，即有偶則偶。

　　結合以上的奇偶性質，在不定方程一般式中的ax，by，c三個量中，若已知ax和c或者已知by和c的奇偶性，則可推導剩余量的奇偶性，進一步確定x或y的取值。具體運用如下題：

　　【例】某兒童藝術培訓中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓中心將所有的鋼琴學員和拉丁舞學員共76人分別平均地分給各個老師帶領，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學生數量都是質數。后來由于學生人數減少，培訓中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學生數量不變，那么目前培訓中心還剩下學員多少人?

　　A.36 B.37

　　C.39 D.41

　　【分析】第一步，本題考查不定方程問題。

　　第二步，設每名鋼琴、拉丁舞老師分別帶領學員x、y人，由共76人，可列不定方程5x+6y=76。根據奇偶特性，其中6y、76為偶數，則5x為偶數，故x既為偶數也為質數，2是唯一的偶質數，所以x=2，y=11，即每名鋼琴老師帶2名學員，每名拉丁舞老師帶11名學員。

　　第三步，由所帶學生數不變可得，剩余學員有4×2+3×11=41(人)。

　　因此，選擇D選項。

　　3.尾數法

　　在不定方程ax+by=c中，當未知數(x,y)前面的系數以0或者5結尾時，可以考慮用尾數法來解不定方程。因為任何正整數與5的乘積其尾數只有0或5兩種可能(其中5與偶數的乘積尾數為0，5與奇數的乘積尾數為5)，任何正整數與0的乘積其尾數只能為0�；�于這樣的規律，我們就可以通過確定的尾數來判斷未知數的取值。尾數法在解不定方程中使用頻率較低，常常與奇偶性結合起來使用。具體運用如下題：

　　【例】超市將99個蘋果裝進兩種包裝盒，大包裝盒每個裝12個蘋果，小包裝盒每個裝5個蘋果，共用了十多個盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個?

　　A.3 B.4

　　C.7 D.13

　　【分析】第一步，本題考查基礎應用題，用不定方程解題。

　　第二步，設大、小包裝盒各有x、y個，由大盒每個裝12個、小盒每個裝5個，可知12x+5y=99。根據奇偶特性，其中12x為偶數、99為奇數，故5y為奇數，可得y為奇數，所以，其尾數為5。此時12x尾數為9-5=4，可得x=2或x=7。

　　第三步，代入驗證，當x=2時，y=15，符合共十多個盒子，此時15-2=13;當x=7時，y=3，不符合共十多個盒子(剛好十個)。故兩種包裝盒相差13個。

　　因此，選擇D選項。

　　4.倍數(整除)法

　　倍數法是解不定方程較常用的方法。即通過觀察不定方程ax+by=c中，ax或by與c之間是否有共同的公約數(或共同被某個非1的整數整除)，從而判斷x或y含某個因數來確定取值。例如，ax+by=c中，若ax為5的倍數且c也為5的倍數，那么就可確定by也為5的倍數，當b不是5的倍數時，則y為5的倍數，則y的取值可為5，10，15，20……;具體運用如下題：

　　【例】高校的科研經費按來源分為縱向科研經費和橫向科研經費，某高校機械學院2015年前4個月的縱向科研經費和橫向科研經費的數字從小到大排列為20、26、27、28、31、38、44和50萬元。如果前4個月縱向科研經費是前3個月橫向科研經費的2倍，則該校機械學院2015年第4個月的橫向科研經費是多少萬元?

　　A.26 B.27

　　C.28 D.31

　　【分析】第一步，本題考查不定方程問題。

　　第二步，設前3個月橫向科研經費為x，第4個月橫向科研經費為y，則前4個月縱向科研經費為2x。根據題意可得，x+y+2x=20+26+27+28+31+38+44+50，化簡為3x+y=264。由于3x與264皆為3的倍數，故y必為3的倍數，結合選項，只有27符合。

　　因此，選擇B選項。

　

（編輯：干飯人）