2024甘肅公務考試高分技巧：如何求解不定方程

　　一、基本概念

　　所謂不定方程，是指未知數的個數多于方程個數，且未知數受到某些限制(如要求是有理數、整數或正整數等等)的方程或方程組。古希臘著名數學家丟番圖曾在其著作《算術》中介紹過關于不定方程，所以不定方程又叫丟番圖方程。

　　比如3x+2y=6，方程只有一個，但是未知數有兩個，這就是不定方程。很明顯，3x+2y=6的解不唯一，給出一個x就會相應地有一個y，x、y的取值可以有無數個。值得注意的是，我們這里介紹的不定方程，一般都會對其中的未知數進行條件限制，比如說上述不定方程中的x、y只能是自然數，這樣我們可以根據限制的條件來求出不定方程的解。所以，解答這類方程，一定要找出題中明顯或隱含的限制條件。具體地，我們根據例題來給大家講解。

　　二、典型例題

　　【例1】設a，b均為正整數，且有等式11a+7b=132成立，則a的值為?( )

　　A. 6 B. 4

　　C. 3 D. 5

　　【名師解析】這是一道不定方程問題。題目中對于未知數a、b給了限制條件，要求均為正整數，那么我們采用代入排除的方法來求解不定方程。即代入選項中a的數值，看求出來的b的是不是正整數，如果是即為正確答案，如果不是則要排除。比如說代入選項A，a=6，那么11×6+7b=132，7b=66，b不是正整數，所以排除A。依次類推排除B和C，對于選項D，a=5，那么11×5+7b=132，7b=77，b=11，滿足題意，故本題答案為D選項。

　　這個題我們是用代入排除法來求解的不定方程，這是在求解不定方程時的常用方法之一。對于這道題目，還可以利用數字特性來求解。132=11×12，則132是11的倍數，11a是11的倍數，那么7b一定是11的倍數，所以b=11，從而a=5，故本題答案為D選項。

　　【例2】某兒童藝術培訓中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓中心將所有的鋼琴學員和拉丁舞學員共76人分別平均地分給各個老師帶領，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學生數量都是質數。后來由于學生人數減少，培訓中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學生數量不變，那么目前培訓中心還剩下學員多少人?( )

　　A.36 B.37

　　C.39 D.41

　　【名師解析】由于鋼琴學員和拉丁舞學員是平均分配給各個老師的，所以設每個鋼琴教師帶領x個學生，每個拉丁舞教師帶領y個學生，可以得到不定方程5x+6y=76。根據奇偶特性，76是偶數，6y是偶數(偶數乘以任何數都得到偶數)，那么5x一定是偶數，x一定是偶數。題目中說每位老師所帶的學生數量都是質數，很多考生可能已經對于質數的概念忘得差不多了，在這里重新帶著大家回顧一下。質數就是指在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的數，比如2、3、5、7等。在質數數列中，僅有一個偶數，那就是2，所以x=2，代入方程可以求得y=11。學生人數減少后，每位老師帶的學生數量不變，那么剩下的學員數為4x+3y，代入x和y，得4×2+3×11=41，故本題答案為D選項。

　　通過上面兩道例題，希望各位考生能夠掌握求解不定方程的幾種方法，比如代入排除法和數字特性法。當然了，解不定方程的方法和技巧還有很多，希望各位考生能夠多加練習，自己進行總結和歸納。如果有機會，我們會再次給大家講解不定方程組的解題技巧和方法。

　

（編輯：shirui）