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文章來源：甘肅華圖
行測考試數量關系中的容斥問題是一類重要的計數問題，它涉及到多個集合的并集和交集的計算。這類問題在行測考試中經常出現，而且往往具有一定的難度。以下是對容斥問題的詳細解析：
一、容斥問題的基本概念
容斥問題，又稱包含與排斥原理，是一種在計數過程中避免重復計數的方法。當需要計算多個集合的并集元素個數，而這些集合之間存在交集時，直接相加會導致重復計數。容斥原理通過加減運算來排除重復計數的部分，從而得到準確的計數結果。
二、容斥問題的常見類型
1.二集合容斥問題：
涉及兩個集合A和B。
需要計算的是A和B的并集元素個數，或者同時滿足A和B條件的元素個數。
常見的公式為：總人數=A+B-A∩B+都不滿足的情況(如果不存在都不滿足的情況，則公式中不加此項)。
2.三集合容斥問題：
涉及三個集合A、B和C。
需要計算的是A、B和C的并集元素個數，或者同時滿足A、B、C三個條件的元素個數。
三集合容斥問題又分為標準型和非標準型。
�、贅藴市停航o出了A∩B、B∩C、A∩C以及A∩B∩C的具體數據。
公式為：總人數-都不滿足的情況=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C。
�、诜菢藴市停褐唤o出了滿足兩個條件的數據(如A∩B、B∩C、A∩C)，但沒有給出A∩B∩C的具體數據。
公式為：總人數-都不滿足的情況=A+B+C-滿足兩個條件的數據-2×A∩B∩C
三、容斥問題的解題技巧
1.識別容斥問題：
關注題目中是否出現“都…”、“都不…”等字眼，以及是否涉及多個集合的交集和并集。
2.確定集合和條件：
明確題目中的集合和條件，將問題轉化為數學表達式。
3.應用容斥原理公式：
根據題目類型(二集合或三集合)和已知條件，選擇合適的容斥原理公式進行計算。
4.畫圖輔助理解：
對于復雜的容斥問題，可以通過畫圖來輔助理解和計算。畫圖可以幫助清晰地展示集合之間的關系和交集部分。
5.注意特殊情況：
在處理三集合容斥問題時，要特別注意區分標準型和非標準型，并正確應用相應的公式。
四、示例解析
示例一(二集合容斥問題)：
【例1】某單位派60名運動員參加運動會，他們著裝白色或黑色上衣，黑色或藍色褲子。其中有12人穿白上衣藍褲子，有34人穿黑褲子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑褲子的有多少人?
A.14 B.15 C.16 D.17
解析：
設穿黑衣黑褲的有x人。
根據二集合計算公式：總人數=黑衣+黑褲-黑衣黑褲+白衣藍褲，可得60=29+34-x+12。
解得x=15。
示例二(三集合容斥問題-標準型)：
【例2】有關部門對120種抽樣食品進行化驗分析，結果顯示，抗氧化劑達標的有68種，防腐劑達標的有77種，漂白劑達標的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達標的有54種，防腐劑和漂白劑都達標的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達標的有35種，三種食品添加劑都達標的有30種，那么三種食品添加劑都不達標的有多少種?
A.16 B.18 C.20 D.22
解析：
本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類標準型。
設三種食品添加劑都不達標的為x種。
根據三集合容斥標準型公式：總人數-都不滿足的情況=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，列出方程68+77+59-54-43-35+30+x=120。
解得x=18。
示例三(三集合容斥問題-非標準型)：
【例3】某高校做有關碎片化學習的問卷調查，問卷回收率為90%，在調查對象中有180人會利用網絡課程進行學習，200人利用書本進行學習，100人利用移動設備進行碎片化學習，同時使用三種方式學習的有50人，同時使用兩種方式學習的有20人，不存在三種方式學習都不用的人，那么這次共發放了多少份問卷?
A.360 B.400 C.428 D.500
解析：
本題考查容斥問題，屬于三集合容斥問題非標準題型。
根據公式：總數=A+B+C-滿足兩種情況的-2×滿足三種條件，可知回收的問卷數=180+200+100-20-2×50=360份。
已知問卷回收率為90%，則發放的問卷數應該是360÷90%=400份。
綜上所述，容斥問題是行測考試中數量關系部分的重要考點之一。通過理解和掌握容斥原理的基本概念、常見類型、解題技巧和示例解析等內容，考生可以更加有效地應對這類問題并在考試中取得好成績。
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